题目

题型：西城区一模难度：来源：

已知函数f(x)=

a(x-1)

x2

，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（Ⅲ）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最大值．（其中e为自然对数的底数）

答案

（Ⅰ）′因为函数f(x)=

a(x-1)

x2

，
∴f′（x）=

[a(x-1)]′•x2-(x2)′a(x-1)

x4

=

a(2-x)

x3

f′（x）＞0⇒0＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＜0，x＞2，
故函数在（0，2）上递增，在（-∞，0）和（2，+∞）上递减．
（Ⅱ）设切点为（x，y），
由切线斜率k=1=

-a(x- 2 a )

x3

，⇒x³=-ax+2，①
由x-y-1=x-

a(x-1)

x2

-1=0⇒（x²-a）（x-1）=0⇒x=1，x=±

a

．
把x=1代入①得a=1，
把x=

a

代入①得a=1，
把x=-

a

代入①得a=-1，
∵a＞0．
故所求实数a的值为1
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，且g′（1）=1-a，g′（e）=2-a．
当a＜1时，g′（1）＞0，g′（e）＞0，故g（x）在区间[1，e]上递增，其最大值为g（e）=a+e（1-a）；
当1＜a＜2时，g′（1）＜0，g′（e）＞0，故g（x）在区间[1，e]上先减后增且g（1）=0，g（e）＞0．所以g（x）在区间[1，e]上的最大值为g（e）=a+e（1-a）；
当a＞2时，g′（1），0，g′（e）＜0，g（x）在区间[1，e]上递减，故最大值为g（1）=0．