题目
题型:不详难度:来源:
1 |
2 |
(I)若a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(Ⅱ)在(I)的结论下,设φ(x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函数φ(x)的最小值;
(Ⅲ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.
答案
∵h(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴h′(x)=
1 |
x |
∴b≤
1 |
x |
1 |
x |
2 |
∴b的取值范围是(-∞,2
2 |
(II)设t=ex,则函数化为y=t2+bt,t∈[1,2].
∵y=(t+
b |
2 |
b2 |
4 |
∴当-
b |
2 |
2 |
当t=1时,ymin=b+1;当1<-
b |
2 |
b |
2 |
b2 |
4 |
当-
b |
2 |
当t=2时,ymin=4+2b.
综上所述:φ(x)=
|
(III)设点P、Q的坐标是(x1,y1),(x2,y2),且0<x1<x2.
则点M、N的横坐标为x=
x1+x2 |
2 |
C1在点M处的切线斜率为k1=
1 |
x |
x1+x2 |
2 |
2 |
x1+x2 |
C2在点N处的切线斜率为k2=ax+b|x=
x1+x2 |
2 |
a(x1+x2) |
2 |
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2.
即
2 |
x1+x2 |
a(x1+x2) |
2 |
2(x2-x1) |
x1+x2 |
a(
| ||||
2 |
a |
2 |
x | 22 |
a |
2 |
x | 21 |
=y2-y1=lnx2-lnx1=ln
x2 |
x1 |
∴ln
x2 |
x1 |
2(x2-x1) |
x1+x2 |
2(
| ||
1+
|
x2 |
x1 |
2(u-1) |
1+u |
令r(u)=lnu-
2(u-1) |
1+u |
1 |
u |
4 |
(u+1)2 |
(u-1)2 |
u(u+1)2 |
∵u>1,∴r′(u)>0,
所以r(u)在[1,+∞)上单调递增,
故r(u)>r(1)=0,则lnu>
2(u-1) |
u+1 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx,g(x)=12ax2+bx(a≠0)(I)若a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(Ⅱ)在】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
e |
(1)求证:直线l与曲线C1,C2都相切,且切于同一点;
(2)设直线x=t(t>0)与曲线C1,C2及直线l分别相交于M,N,P,记f(t)=|PM|-|NP|,求f(t)在[e-3,e3]上的最大值;
(3)设直线x=em(m=0,1,2,3┅┅)与曲线C1和C2的交点分别为Am和Bm,问是否存在正整数n,使得A0B0=AnBn?若存在,求出n;若不存在,请说明理由. (本小题参考数据e≈2.7).
3 |
2 |
(1)求出函数的单调区间;
(2)求f(x)在[-1,2]上的最值.
1 |
3 |
1 |
2 |
x-1 | ||
|
(1)判定函数f(x)的单调性;
(2)设a>1,证明:
lna |
a-1 |
1 | ||
|
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