题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x-alnx+

b

x

在x=1处取得极值．
（I）求a与b满足的关系式；
（II）若a∈R，求函数f（x）的单调区间．

答案

（Ⅰ）f^′（x）=1-

a

x

-

b

x2

，
∵函数f（x）=x-alnx+

b

x

在x=1处取得极值，∴f^′（1）=0，∴1-a-b=0，即b=1-a．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）可得f^′（x）=1-

a

x

-

1-a

x2

=

x2-ax-(1-a)

x2

=

(x-1)[x-(a-1)]

x2

．
令f^′（x）=0，则x₁=1，x₂=a-1．
①当a＞2时，x₂＞x₁，当x∈（0，1）∪（a-1，+∞）时，f^′（x）＞0；当x∈（1，a-1）时，f^′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）．
②当a=2时，f^′（x）≥0，且只有x=1时为0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当a＜2时，x₂＜x₁，当x∈（0，1-a）∪（1，+∞）时，f^′（x）＞0；当x∈（1-a，1）时，f^′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1-a），（1，+∞）；单调递减区间为（a-1，1）．