题目

题型：不详难度：来源：

证明函数f（x）=x²e^x-1-

1

3

x³-x²在区间（-∞，-2）内是减函数．

答案

∵f（x）=x²e^x-1-

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3

 x³-x²
∴f"（x）=（x²）′e^x-1+x²（e^x-1）′-（

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x³）′-（x²）′=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x
=x²（e^x-1-1）+2x（e^x-1-1）=（e^x-1-1）（x²+2x）
∵x∈（-∞，-2），∴x²+2x＞0，
又∵x∈（-∞，-2），∴x-1＜-3．
∴e^x-1＜e^-3，∴e^x-1-1＜e^-3-1＜0，
∴（e^x-1-1）（x²+2x）＜0
即当x∈（-∞，-2）时，f"（x）＜0，
∴函数f（x）在（-∞，-2）内是减函数．