题目

题型：不详难度：来源：

规定A_x^m=x（x-1）（x-2）•…•（x-m+1），其中x∈R，m∈N*．
函数f（x）=aA_x+1³+3bA_x²+1（ab≠0）在x=1处取得极值，在x=2处的切线的平行向量为

OP

=(b+5，5a)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）是否存在正整数m，使得方程f(x)=6x-

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在区间（m，m+1）内有且只有两个不等实根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

答案

（1）由已知f（x）=a（x+1）x（x-1）+3bx（x-1）+1=ax³+3bx²-（a+3b）x+1，
∴f"（x）=3ax²+6bx-（a+3b）
∴

f′(1)=0 f′(2)= 5a b+5

解得

a=6 b=-4

∴f（x）=6x³-12x²+6x+1．
（2）∵f"（x）=18x²-24x+6=6（3x-1）（x-1）
由f"（x）＞0得，x＞1或x＜

1

3

，即f（x）在（1，+∞）和（-∞，

1

3

）上单调递增，
由f"（x）＜0得，

1

3

＜x＜1，即f（x）在（

1

3

，1）上单调递减．
（3）方程f(x)=6x-

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等价于18x³-36x²+19=0．
令g（x）=18x³-36x²+19．
则g"（x）=54x²-72x=18x（3x-4）令g"（x）=0得x=0或x=

4

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．
当x∈（0，

4

3

）时，g"（x）＜0，g（x）是单调递减函数；
当x∈（

4

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，+∞）时，g"（x）＞0，g（x）是单调递增函数；
∵g（1）=1＞0，g（

4

3

）=-

7

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＜0，g（2）=19＞0，
∴方程g（x）=0在区间（1，

4

3

），（

4

3

，2）内分别有唯一实根．
∴存在正整数m=1使得方程f(x)=6x-

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在区间（1，2）上有且只有两个不相等的实数跟．