题目
题型:湖南难度:来源:
1 |
x |
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性.
(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k.问:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
答案
f′(x)=1+
1 |
x2 |
a |
x |
x2-ax +1 |
x2 |
令g(x)=x2-ax+1,△=a2-4,
①当-2≤a≤2时,△≤0,f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,
②当a<-2时,△>0,g(x)=0的两根都小于零,在(0,+∞)上,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,
③当a>2时,△>0,g(x)=0的两根为x1=
a-
| ||
2 |
a+
| ||
2 |
当0<x<x1时,f′(x)>0;当x1<x<x2时,f′(x)<0;当x>x2时,f′(x)>0;
故f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.
(Ⅱ)由(I)知,a>2.
因为f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+
x1-x2 |
x1x2 |
所以k=
f(x1)-f(x2) |
x1-x2 |
1 |
x1x2 |
lnx1-lnx2 |
x1-x2 |
又由(I)知,x1x2=1.于是
k=2-a
lnx1-lnx2 |
x1-x2 |
若存在a,使得k=2-a,则
lnx1-lnx2 |
x1-x2 |
亦即x2-
1 |
x2 |
再由(I)知,函数h(t)=t-
1 |
t |
而x2>1,
所以x2-
1 |
x2 |
故不存在a,使得k=2-a.
核心考点
试题【设函数f(x)=x-1x-alnx(a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性.(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求g(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论g(x)与g(
1 |
x |
(Ⅲ)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<
1 |
a |
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.
注:e为自然对数的底数.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,若方程f(x)-b=0在区间[2-
e |
a |
mx |
x2+n |
(1)求f(x)的解析式;
(2)设A是曲线y=f(x)上除原点O外的任意一点,过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B,试问:是否存在这样的点A,使得曲线在点B处的切线与OA平行?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由;
(3)设函数g(x)=x2-2ax+a,若对于任意x1∈R的,总存在x2∈[-1,1],使得g(x2)≤f(x1),求实数a的取值范围.
1 |
x |
(Ⅰ)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若定义在区间D上的函数y=g(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2,总有不等式
1 |
2 |
x1+x2 |
2 |
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