题目

题型：陕西难度：来源：

设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论g（x）与g(

1

x

)的大小关系；
（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）-g（x）＜

1

a

对任意x＞0成立．

答案

（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+

1

x

，
∴g"（x）=

x-1

x2

，令g′（x）=0得x=1，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，
因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，
从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．
（II）g(

1

x

)=-Inx+x
设h(x)=g(x)-g(

1

x

)=2lnx-x+

1

x

，则h"（x）=-

(x-1)2

x2

，
当x=1时，h（1）=0，即g(x)=g(

1

x

)，
当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）=0，
因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，
当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即g(x)＞g(

1

x

)，
当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即g(x)＜g(

1

x

)．
（III）由（I）知g（x）的最小值为1，
所以，g（a）-g（x）＜

1

a

，对任意x＞0，成立⇔g（a）-1＜

1

a

，
即Ina＜1，从而得0＜a＜e．