已知函数f(x)=mxx2+n(m，n∈R)在x=1处取得极值2，（1）求f（x）的解析式；（2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

x2+n

(m，n∈R)在x=1处取得极值2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B，试问：是否存在这样的点A，使得曲线在点B处的切线与OA平行？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设函数g（x）=x²-2ax+a，若对于任意x₁∈R的，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求实数a的取值范围．

答案

（1）

∵f(x)=

x2+n

，

∴f′(x)=

m(x2+n)-mx•2x

(x2+n)2

mn-mx2

(x2+n)2

（2分）
又f（x）在x=1处取得极值2

∴

f′(1)=0

f(1)=2

即

m(n-1)

(1+n)2

1+n

解得

m=4

n=1

或

m=0

n=-1

(舍去)

∴f(x)=

x2+1

（4分）
（2）由（1）得f′(x)=

4-4x2

(x2+1)2

假设存在满足条件的点A，且A(x0，

4x0

)，则kOA=

（5分）

f′(

4-4(

[(

)2+1]2

16(4-

)

(

+4)2

，
∴5

，∴

，

=±

（7分）
所以存在满足条件的点A，此时点A是坐标为(

，

)或(-

，-

)（8分）
（3）f′(x)=

-4(x+1)(x-1)

(x2+1)2

，令f"（x）=0，得x=-1或x=1
当x变化时，f"（x），f（x）的变化情况如下表：

核心考点

试题【已知函数f(x)=mxx2+n(m，n∈R)在x=1处取得极值2，（1）求f（x）的解析式；（2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

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（-∞，-1）

-1

（-1，1）

（1，+∞）

f"（x）

f（x）

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

已知函数f(x)=ax2+

-2lnx（x＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂，总有不等式

[g(x1)+g(x2)]≥g(

x1+x2

)成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凸函数”．试证当a≥0时，f（x）为“凸函数”．

已知函数f(x)=

1-x

+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求f（x）在[

，2]上的最大值和最小值．

已知函数f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）+

x2+（b-3）x．
（1）当a＞0且a≠1，f"（1）=0时，试用含a的式子表示b，并讨论f（x）的单调区间；
（2）若f"（x）有零点，f"（3）≤

，且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有f"（x）≥0．
①求f（x）的表达式；
②当x∈（-3，2）时，求函数y=f（x）的图象与函数y=f"（x）的图象的交点坐标．

函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）在R上的导函数f′(x)＞

，则不等式f（x）＜

x+1

的解集为______．

已知曲线f（x）=alnx+bx+1在点（1，f（1））处的切线斜率为-2，且x=

是y=f（x）的极值点，则a-b=______．