题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=

a

x

+x+（a-1）lnx-15a，其中a＜0，且a≠-1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）设a＞-e¹⁰，且函数f（x）在[1，+∞）上的最小值为2，求a的值．

答案

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=-

a

x2

+1+

a-1

x

=

(x+a)(x-1)

x2

．…（1分）
（ⅰ）当-1＜a＜0时，由f"（x）＞0得0＜x＜-a或x＞1；由f"（x）＜0得-a＜x＜1．
故f（x）在（0，-a），（1，+∞）上单调递增，在（-a，1）上单调递减．…（4分）
（ⅱ）当a＜-1时，由f"（x）＞0得0＜x＜1或x＞-a；由f"（x）＜0得1＜x＜-a．
故f（x）分别在（0，1），（-a，+∞）上单调递增，在（1，-a）上单调递减． …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当-1＜a＜0时，f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（1）=a+1-15a=2，∴a=-

1

14

．       …（9分）
当a＜-1时，f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（-a）=-1-a+（a-1）ln（-a）-15a=2，
即-16a-3+（a-1）ln（-a）=0，
下证满足此式的a不存在．
设F（x）=16x-3-（x+1）lnx，其中x=-a∈（1，e¹⁰）．
∵F′(x)=16-(lnx+1+

1

x

)＞0，∴F（x）在（1，e¹⁰）上是增函数，
∴F（x）＞F（1）=13＞0，∴-16a-3+（a-1）ln（-a）＞0．
∴-16a-3+（a-1）ln（-a）=0无解
综上，a=-

1

14

．                                    …（12分）