题目
题型:不详难度:来源:
(1)求常数a,b,c的值;
(2)若函数g(x)=x2+mf(x)(m∈R)在区间(1,3)内不是单调函数,求实数m的取值范围;
(3)求函数h(x)=f(x)-1的单调递减区间,并证明:
ln2 |
2 |
ln3 |
3 |
ln4 |
4 |
ln2012 |
2012 |
1 |
2012 |
答案
b |
x |
又f(x)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-e=0,而切线(e-1)x+ey-e=0的斜率为-
e-1 |
e |
所以有f′(e)=a+
b |
e |
e-1 |
e |
由x=1是函数f(x)的零点,得f(1)=a+c=0 ②
由x=1是函数f(x)的极值点,得f′(1)=a+b=0 ③
由③得:a=-b,把a=-b代入①得:-b+
b |
e |
1 |
e |
所以,a=-1,b=1,c=1.
(2)由(1)知f(x)=-x+lnx+1(x>0),
因此,g(x)=x2+mf(x)=x2-mx+mlnx+m (x>0),
所以g′(x)=2x-m+
m |
x |
1 |
x |
要使函数g(x)在(1,3)内不是单调函数,则函数g(x)在(1,3)内一定有极值,
而g′(x)=
1 |
x |
令d(x)=2x2-mx+m (x>0).
(ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有一个极值时,g′(x)=0在(1,3)内有且仅有一个根,
即d(x)=2x2-mx+m 在(1,3)内有且仅有一个根,
又因为d(1)=2>0,所以当d(3)<0时,d(x)=2x2-mx+m 在(1,3)内有且仅有一个根,
即2×32-3m+m<0,解得m>9.
(ⅱ)当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时,g′(x)=0在(1,3)内有两个根,
即二次函数d(x)=2x2-mx+m 在(1,3)内有两个不等根,
所以
|
解得:8<m<9.
综上,实数m的取值范围是(8,9)∪(9,+∞).
(3)由h(x)=f(x)-1得:h(x)=-x+lnx (x>0),所以h′(x)=
1-x |
x |
令h′(x)≤0,即
1-x |
x |
事实上,
由函数h(x)=-x+lnx (x>0)在[1,+∞)上单调递减可知,
当x∈(1,+∞)时,h(x)<h(1),即-x+lnx<-1,
亦即lnx<x-1对一切x∈(1,+∞)都成立,
不等式两边同时除以x,
亦即0<
lnx |
x |
x-1 |
x |
所以0<
ln2 |
2 |
1 |
2 |
0<
ln3 |
3 |
2 |
3 |
0<
ln4 |
4 |
3 |
4 |
…
0<
ln2012 |
2012 |
2011 |
2012 |
所以有
ln2 |
2 |
ln3 |
3 |
ln4 |
4 |
ln2012 |
2012 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
4 |
2011 |
2012 |
所以
ln2 |
2 |
ln3 |
3 |
ln4 |
4 |
ln2012 |
2012 |
1 |
2012 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+blnx+c,(a,b,c)是常数)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ex-e=0,x=1既是函数y=f(x)的零点,又是它的极值点.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
b |
x |
(Ⅰ)若函数f(x)在x=1,x=
1 |
2 |
(Ⅱ)若f′(1)=2,函数f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求a的取值范围.
(1)求f"(1);
(2)求函数f(x)的单调区间.
lnx |
x |
(1)求函数g(x)=
lnx |
x |
(2)若不等式f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求k的取值范围;
(3)求证:
ln2 |
24 |
ln3 |
34 |
lnn |
n4 |
1 |
2e |
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a=1时,若方程f(x)=t在[-
1 |
2 |
(Ⅲ)证明:当m>n>0时,(1+m)n<(1+n)m.
2 |
3 |
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