题目
题型:不详难度:来源:
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设f(x)的最小值为g(a),求证:-
1 |
a |
答案
而 f′(x)=
a(x-
| ||
x+1 |
∵a>0,x>-1,∴当 -1<x<
1 |
a |
当 x>
1 |
a |
∴函数f(x)的单调递减区间是 (-1,
1 |
a |
1 |
a |
(2)由(1)可知,f(x)的最小值
为 g(a)=f(
1 |
a |
1 |
a |
要证明 -
1 |
a |
只须证明
1 |
a+1 |
1 |
a |
1 |
a |
设 φ(x)=ln(x+1)-
x |
x+1 |
则 φ′(x)=
1 |
x+1 |
1 |
(1+x)2 |
x |
(1+x)2 |
∴φ(x)在区间(0,+∞)上是增函数,∴φ(x)>φ(0)=0,即 ln(x+1)>
x |
x+1 |
取 x=
1 |
a |
1 |
a+1 |
1 |
a |
设ψ(x)=ln(x+1)-x,x∈(0,+∞),同理可证ln(x+1)<x.
取 x=
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)设f(x)的最小值为g(a),求证:-1a<g(a)<0.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)求函数f(x)的图象在点x=
π |
3 |
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当m=1时,若直线y=t与函数f(x)在[-
1 |
2 |
(3)证明:当a>b>0时,(1+a)b<(1+b)a.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值是-2,求a的值;
(3)记g(x)=f(x)+(a-1)lnx+1,当a≤-2时,求证:对任意x1,x2∈(0,+∞),总有|g(x1)-g(x2)|≥4|x1-x2|
(Ⅰ)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[e+1,e2+1]上的最小值.
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