题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[e+1,e2+1]上的最小值.
答案
(1)当x>1时,f(x)=(x-1)2-8ln(x-1),f′(x)=2(x-1)-
8 |
x-1 |
2(x-1)2-8 |
x-1 |
由f"(x)>0得2(x-1)2-8>0,解得x>3或x<-1.
注意到x>1,所以函数f(x)的单调递增区间是(3,+∞).
由f"(x)<0得2(x-1)2-8<0,解得-1<x<3,
注意到x>1,所以函数f(x)的单调递减区间是(1,3).
(2)当x<1时,f(x)=(x-1)2-8ln(1-x),
f′(x)=2(x-1)+
8 |
1-x |
-2(x-1)2+8 |
1-x |
由f"(x)>0得2(x-1)2-8<0,解得-1<x<3,
注意到x<1,所以函数f(x)的单调递增区间是(-1,1).
由f"(x)<0得2(x-1)2-8>0,解得x>3或x<-1,
由x<1,所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1).
综上所述,函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),(3,+∞);
单调递减区间是(-∞,-1),(1,3).(5分)
(Ⅱ)当x∈[e+1,e2+1]时,f(x)=(x-1)2-aln(x-1),
所以f′(x)=2(x-1)-
a |
x-1 |
2(x-1)2-a |
x-1 |
2x2-4x+2-a |
x-1 |
设g(x)=2x2-4x+2-a.
(1)当a<0时,有△<0,此时g(x)>0,所以f"(x)>0,f(x)在[e+1,e2+1]上单调递增.
所以f(x)min=f(e+1)=e2-a
(2)当a>0时,△=16-4×2(2-a)=8a>0.
令f"(x)>0,即2x2-4x+2-a>0,解得x>1+
| ||
2 |
| ||
2 |
令f"(x)<0,即2x2-4x+2-a<0,解得1-
| ||
2 |
| ||
2 |
①若1+
| ||
2 |
所以f(x)min=f(e2+1)=e4-2a.
②若1+e<1+
| ||
2 |
| ||
2 |
在区间[1+
| ||
2 |
| ||
2 |
a |
2 |
| ||
2 |
③若1+
| ||
2 |
所以f(x)min=f(e+1)=e2-a.
综上所述,当a<0或0<a≤2e2时,f(x)min=f(e+1)=e2-a;
当2e2<a<2e4时,f(x)min=
a |
2 |
| ||
2 |
当a≥2e4时,f(x)min=e4-2a.(13分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=(x-1)2-aln|x-1|(a∈R,a≠0).(Ⅰ)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[e+1,e2+1]上】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若f"(-1)=0,求函数y=f(x)在[-
3 |
2 |
(2)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,求a的取值范围.
1-x |
ax |
(I)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;
(II)设函数g(x)=(p-x)
e | -x |
A.f(0)+f(2)>2f(1) | B.f(0)+f(2)=2f(1) |
C.f(0)+f(2)<2f(1) | D.f(0)+f(2)与f(1)大小不定 |
1 |
4 |
9 |
2 |
(1)求c的取值范围;
(2)若存在c=5,使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减,求a的取值范围.
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