题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）＝ax－lnx（a为常数）．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，＋∞）上的最值；
（Ⅲ）试证明对任意的n∈N﹡都有＜1．

答案

解（1）当时，函数=，
∵，令得
∵当时，  ∴函数在上为减函数
∵当时  ∴函数在上为增函数
∴当时，函数有最小值，      --------3分
（2）∵
若，则对任意的都有，∴函数在上为减函数
∴函数在上有最大值，没有最小值，； --------4分
若，令得
当时，，当时，函数在上为减函数
当时  ∴函数在上为增函数
∴当时，函数有最小值，   ------6分
当时，在恒有
∴函数在上为增函数，
函数在有最小值，．   ---------7分
综上得：当时，函数在上有最大值，，没有最小值；
当时，函数有最小值，，没有最大值；
当时，函数在有最小值，，没有最大值．---8分
（3）由（1）知函数=在上有最小值1
即对任意的都有，即，      ---------10分
当且仅当时“＝”成立
∵      ∴且
∴
∴对任意的都有．         ……12分

解析

略