题目
题型:不详难度:来源:
已知,其中是自然常数,
(1)讨论时, 的单调性、极值;
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数,使的最小值是3,如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由.
答案
(2),当时,;
(3) 。
解析
(2)在(1)条件下,可确定出的最小值,然后再利用导数研究的最大值即可.只需证明即可.
(3)先假设存在实数,使有最小值3,,
然后求出f(x)的导数,利用其导数研究其最小值,根据最小值等于3,求a,看a值是否存在.
(1) ------------2分
当时,,此时为单调递减
当时,,此时为单调递增
的极小值为--------------------------4分
(2)的极小值,即在的最小值为1
令
又 ------------------------6分
当时
在上单调递减
---------------7分
当时,------------------------------8分
(3)假设存在实数,使有最小值3,
①当时,由于,则
函数是上的增函数
解得(舍去) ---------------------------------12分
②当时,则当时,
此时是减函数
当时,,此时是增函数
解得 ---------------------------------16分
核心考点
试题【(本小题满分16分)已知,其中是自然常数,(1)讨论时, 的单调性、极值;(2)求证:在(1)的条件下,;(3)是否存在实数,使的最小值是3,如果存在,求出的值】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(2)求的极值点;
(3)证明对任意的正整数,不等式都成立。
(I) 若,求的单调区间;
(II) 已知是的两个不同的极值点,且,若恒成立,求实数b的取值范围.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线x=1对称,证明当x>1时,.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)设.如果对任意,,求的取值范围.
(Ⅰ)当时,求的极值点;
(Ⅱ)若为R上的单调函数,求a的取值范围。
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