题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝ln x－.
(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值；
(3)若f(x)<x²在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围.

答案

(1) f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.(2) a＝－.
(3)当a≥－1时，f(x)<x²在(1,＋∞)上恒成立.

解析

本题重点考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，解题的关键是运用导数，确定函数的单调性，运用分离参数法求解恒成立问题
（I）先确定函数f（x）的定义域，再求导函数，从而可判定f（x）在定义域内的单调性；
（II）由（I）可知，f′（x）= ．再分类讨论：a≥-1，f（x）在[1，e]上为增函数；a≤-e，f（x）在[1，e]上为减函数；e＜a＜-1，f（x）在（1，-a）上为减函数，f（x）在（-a，e）上为增函数，利用f（x）在[1，e]上的最小值为 ，可求a的值；
（III）先将不等式整理，再分离参数，构建新函数，利用单调性求出函数值的范围，即可求出a的取值范围．
解：(1)由题意f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.
∵a>0，∴f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.
(2)由(1)可知，f ′(x)＝.
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，
∴f(x)_min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－ (舍去).
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，
∴f(x)_min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－ (舍去).
③若－e<a<－1，令f ′(x)＝0得x＝－a，
当1<x<－a时，f ′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数；
当－a<x<e时，f ′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x)_min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，∴a＝－.
综上所述，a＝－.
(3)∵f(x)<x²，∴ln x－<x².
又x>0，∴a>xln x－x³.
令g(x)＝xln x－x³，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x²，
h′(x)＝－6x＝.
∵x∈(1,＋∞)时，h′(x)<0，
∴h(x)在(1,＋∞)上是减函数.
∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，
∴g(x)在(1,＋∞)上也是减函数. g(x)<g(1)＝－1，
∴当a≥－1时，f(x)<x²在(1,＋∞)上恒成立.