题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若在定义域内存在,而使得不等式能成立,求实数的最小值;
(Ⅱ)若函数在区间上恰有两个不同的零点,求实数的取值范围。
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)要使得不等式能成立,只需。
求导得:, ………3分
∵函数的定义域为,
当时,,∴函数在区间上是减函数;
当时,,∴函数在区间(0,+∞)上是增函数。
∴, ∴。故实数的最小值为。 ………6分
(Ⅱ)由得:
由题设可得:方程在区间上恰有两个相异实根………8分
设。∵,列表如下:
| - | 0 | + | | |
减函数 | 增函数 |
∵,
∴。
从而有, ………10分
画出函数在区间上的草图
易知要使方程在区间上恰有两个相异实根,
只需:,即:。 ………12分
点评:利用导数研究函数单调性、确定函数最值、研究函数图象,是导数的基本应用。本题将“恒成立”问题转化成求函数最值问题,将函数零点问题,转化成研究函数单调性、求最值问题,凸显转化与化归数学的重要性。
核心考点
试题【(满分12分)设函数。(Ⅰ)若在定义域内存在,而使得不等式能成立,求实数的最小值;(Ⅱ)若函数在区间上恰有两个不同的零点,求实数的取值范围。】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅲ) 证明对一切都有成立.
已知函数f(x)=lnx+
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设mR,对任意的a∈(-l,1),总存在xo∈[1,e],使得不等式ma - (xo)<0成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)证明:ln2 l+ 1n22,+…+ln2 n>∈N*).
(1)若,求证:函数在(1,+.∞)上是增函数;
(2)求函数在[1,e]上的最小值及相应的值;
(3)若存在,使得成立,求实数a的取值范围.
设函数.
(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切,求的值;
(Ⅱ)求函数的极值点与极值.
(1)求函数的单调区间;
(2)若时,恒成立,求实数的取值范围。
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