题目
题型:不详难度:来源:
(1)若,求证:函数在(1,+.∞)上是增函数;
(2)求函数在[1,e]上的最小值及相应的值;
(3)若存在,使得成立,求实数a的取值范围.
答案
(2)当时,的最小值为1,相应的x值为1;当时,
的最小值为,相应的x值为;当时,的最小值为,
相应的x值为.
(3)。
解析
试题分析:(1)当时,,当,,
故函数在上是增函数. 4分
(2),当,.
若,在上非负(仅当,x=1时,),故函数在上是增函数,此时. 6分
若,当时, ;当时,,此时
是减函数; 当时,,此时是增函数.故
.
若,在上非正(仅当,x=e时,),故函数在上是减函数,此时. 8分
综上可知,当时,的最小值为1,相应的x值为1;当时,
的最小值为,相应的x值为;当时,的最小值为,
相应的x值为. 10分
(3)不等式,可化为.
∵, ∴且等号不能同时取,所以,即,
因而() 12分
令(),又, 14分
当时,,,
从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数,
故的最小值为,所以a的取值范围是. 6分
点评:(1)利用导数研究函数的单调性,一定要先求函数的定义域;(2)利用导数求函数的单调区间,实质上就是求导数大于零或小于零的解集,这样问题就转化为解不等式的问题,尤其是含参不等式的解法要注意分类讨论。二次含参不等式主要讨论的地方有:开口方向,两根的大小和判别式∆。
核心考点
试题【已知函数(a为实常数).(1)若,求证:函数在(1,+.∞)上是增函数; (2)求函数在[1,e]上的最小值及相应的值;(3)若存在,使得成立,求实数a的取值范】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数.
(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切,求的值;
(Ⅱ)求函数的极值点与极值.
(1)求函数的单调区间;
(2)若时,恒成立,求实数的取值范围。
(Ⅰ)若,求的最小值;
(Ⅱ)若,讨论函数的单调性.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
124.4 | 35 | -74 | 14.5 | -56.7 | -123.6 |
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
A.5 | B.6 | C.7 | D.8 |
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