题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)试用含的代数式表示;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)令,设函数在处取得极值,记点,证明:线段与曲线存在异于、的公共点;
答案
(Ⅲ)易得,而的图像在内是一条连续不断的曲线,
故在内存在零点,这表明线段与曲线有异于的公共点
解析
试题分析:解法一:(Ⅰ)依题意,得
由得
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故
令,则或
①当时,
当变化时,与的变化情况如下表:
+ | — | + | |
单调递增 | 单调递减 | 单调递增 |
②由时,,此时,恒成立,且仅在处,故函数的单调区间为R
③当时,,同理可得函数的单调增区间为和,单调减区间为
综上:
当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为;
当时,函数的单调增区间为R;
当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为
(Ⅲ)当时,得
由,得
由(Ⅱ)得的单调增区间为和,单调减区间为
所以函数在处取得极值。
故
所以直线的方程为
由得
令
易得,而的图像在内是一条连续不断的曲线,
故在内存在零点,这表明线段与曲线有异于的公共点
解法二:
(Ⅲ)当时,得,由,得
由(Ⅱ)得的单调增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值,
故
所以直线的方程为
由得
解得
所以线段与曲线有异于的公共点。
点评:本题是在知识的交汇点处命题,将函数、导数、不等式、方程的知识融合在一起进行考查,重点考查了利用导数研究函数的极值与最值等知识.导数题目是高考的必考题,且常考常新,但是无论如何少不了对基础知识的考查,因此备考中要强化基础题的训练.
核心考点
举一反三
A. | B. | C. | D. |
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