题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．

答案

（1）单调增区间是，单调减区间是（2）当0<a<ln2时，最小值是－a；当a≥ln2时，最小值是ln2－2a.

解析

①知函数解析式求单调区间，实质是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域；
②先研究f(x)在[1，2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值；
③由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论．
规范解答：解：(1)f′(x)＝－a(x>0)．(1分)
①当a≤0时，f′(x)＝－a≥0，即函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)．(3分)
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，得x＝，当0<x< 时，f′(x)＝>0，当x> 时，f′(x)＝<0，所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.(6分)
(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，
所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.(8分)
②当≥2，即0<a≤时，函数f(x)在区间[1，2]上是增函数，
所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.(10分)
③当1< <2，即<a<1时，函数f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，
又f(2)－f(1)＝ln2－a，
所以当<a<ln2时，最小值是f(1)＝－a；
当ln2≤a<1时，最小值是f(2)＝ln2－2a.(12分)
综上可知，当0<a<ln2时，最小值是－a；
当a≥ln2时，最小值是ln2－2a.(14分)