题目

题型：沈阳二模难度：来源：

定义在（0，

π

2

）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（　　）

A． 3 f( π 4 )＞ 2 f( π 3 )	B．f(1)＜2f( π 6 )sin1
C． 2 f( π 6 )＞f( π 4 )	D． 3 f( π 6 )＜f( π 3 )

答案

因为x∈（0，

π

2

），所以sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f^′（x）sinx．
即f^′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=

f(x)

sinx

x∈（0，

π

2

），则g′(x)=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin2x

＞0．
所以函数g（x）=

f(x)

sinx

在x∈（0，

π

2

）上为增函数，
则g(

π

6

)＜g(

π

3

)，即

f( π 6 )

sin π 6

＜

f( π 3 )

sin π 3

，所以

f( π 6 )

1 2

＜

f( π 3 )

3 2

，
即

3

f(

π

6

)＜f(

π

3

)．
故选D．