题目

题型：不详难度：来源：

定义在定义域D内的函数y=f(x),若对任意的x₁、x₂∈D,都有|f(x₁)－f(x₂)|＜1,则称函数y=f(x)为“Storm函数”．已知函数f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)．
（1）若，求过点处的切线方程；
（2）函数是否为“Storm函数”?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由．

答案

（1）（2）当c≤－时，ax²+bx+c≤0的解集为R

解析

本题属于信息迁移题,主要考查利用导数求函数的极值．（1），，切线方程为．
（2）函数f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的导数是f′(x)=3x²－1,
当3x²－1=0时,即x=±,
当x＜时,f′(x)=3x²－1＜0;当x＞时,f′(x)=3x²－1＞0,
故f(x)在x∈［－1,1］内的极小值是a－．
同理,f(x)在x∈［－1,1］内的极大值是a+．
∵f(1)=f(－1)=a,
∴函数f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的最大值是a+,最小值是a－,
因为|f(x₁)－f(x₂)|＜|f_max－f_min|,
故|f(x₁)－f(x₂)|＜|f_max－f_min|=＜1．
所以函数f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)是“Storm函数”．