题目
题型:不详难度:来源:
(1)求的单调区间、最大值;
(2)讨论关于的方程的根的个数.
答案
解析
试题分析:(1)函数的定义域为全体实数.先求函数的导数,解不等式得单调减区间,解不等式得单调增区间,进而求得最大值;(2)构造函数=,利用导数求得的最小值,根据这个最小值大于零、等于零、小于零讨论方程的根的个数.
试题解析:(1). 1分
由得.
当时,,单调递增;当时,,单调递减;∴函数的单调递增区间是;单调递减区间是. 3分
∴的最大值为. 4分
(2)令=. 5分
①当时,,∴.
∵,∴,∴在上单调递增. 7分
②当时,,,.
∵,∴,∴在(0,1)上单调递减.
综合①②可知,当时,. 9分
当即时,没有零点,故关于方程的根的个数为0;
当即时,只有一个零点,故关于方程的根的个数为1; 11分
当即时,当时,由(1)知.
要使,只需即.
当时,由(1)知.
要使,只需即,所以时,有两个零点 13分
综上所述
当时,关于的方程根的个数为0;
当时,关于的方程根的个数为1;
当时,关于的方程根的个数为2. 14分
核心考点
举一反三
(Ⅰ)若函数在处的切线垂直轴,求的值;
(Ⅱ)若函数在区间上为增函数,求的取值范围;
(Ⅲ)讨论函数的单调性.
⑴求函数的单调区间;
⑵求函数的值域;
⑶已知对恒成立,求实数的取值范围.
(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(2)当时,若直线与曲线在上有公共点,求的取值范围.
A.3 | B. | C.2 | D. |
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