题目

题型：不详难度：来源：

设函数，，其中为实数,若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围．

答案

a∈(e,+∞)

解析

试题分析：分别利用导数求出单调区间与在上的最小值，与给定的在上是单调减函数，且在上有最小值相结合，得出关于的关系式，可得的取值范围．
解：令,
考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,进而解得x>a^-1,即f(x)在(a^-1,+∞)上是单调减函数,
同理,f(x)在(0,a^-1)上是单调增函数．
由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)(a^-1,+∞),从而a^-1≤1,即a≥1,
令g"(x)=e^x-a=0,得．
当时, ;当x>时, ．
又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以,
即a>e．综上,有a∈(e,+∞)．
考点:利用导数求函数的单调区间与最值．