题目

题型：北京期末题难度：来源：

对于数列A：a₁，a₂，…，a_n，若满足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0-1数列”。定义变换T，T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0。例如A：1，0，1，则T（A）：0，1，1，0，0，1，设A₀是“0-1数列”，令A_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…。
（1）若数列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，求数列A₁，A₀；
（2）若数列A₀共有10项，则数列A₂中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
（3）若A₀为0，1，记数列A_k中连续两项都是0的数对个数为l_k，k=1，2，3，…，求l_k关于k的表达式。

答案

解：（1）由变换T的定义可得A₁：0，1，1，0，0，1；
A₀：1，0，1。
（2）数列A₂中连续两项相等的数列至少有10对
证明：对于任意一个“0-1数列A₀，A₀中每一个1在A₂中对应连续四项1，0，0，1，
在A₀中每一个0在A₂中对应的连续四项为0，1，1，0
因此，共有10项的“0-1数列”A₀中的每一个项在A₂中都会对应一个连续两项相等的数对，
所以A₂中至少有10对连续两项相等的数对。
（3）设A_k中有b_k个01数对，
中的00数对只能由A_k中的01数对得到，
所以
中的01数对有两个产生途径：
①由A_k中的1得到；
②由A_k中00得到，
由变换T的定义及A₀：0，1
可得A_k中0和1的个数总相等，且共有个，
所以
所以
由A₀：0，1可得A₁：l，0，0，1，A₂：0，1，1，0，1，0，0，1，
所以l₁=1，l₂=1，
当k≥3时，
若k为偶数，

…
l₄=l₂+2²，
上述各式相加可得

经检验，k=2时，也满足
若k为奇数


…
l₃=l₁+2，
上述各式相加可得
 
经检验，k=1时，也满足
所以。