已知数列{an}中,a1=-1,且 (n+1)an,(n+2)an+1,n 成等差数列. (Ⅰ)设bn=(n+1)an-n+2,求证:数列{bn}是等比数列; (Ⅱ)求{an}的通项公式; (Ⅲ)(仅理科做) 若an-bn≤kn对一切n∈N*恒成立,求实数k的取值范围. |
(Ⅰ)证明:(n+2)an+1=(n+1)an+,…1分 ∵b1=2a1-1+2=-1,…2分(文3分)=(n+2)an+1-(n+1)+2 | (n+1)an-n+2 | =(n+1)an+-(n+1)+2 | (n+1)an-n+2 | ==, ∴数列{bn}是等比数列. …4分(文6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得bn=-()n-1,即(n+1)an-n+2=-()n-1. ∴an=-()n-1+. …6分(文13分) (Ⅲ)∵an-bn=()n-1+, ∴an-bn≤kn,即k ≥ ()n-1+. 设cn=()n-1,dn=,en=()n-1+, 则cn 随着n的增大而减小,…8分 ∵dn+1-dn=-=, ∴n≥5时,dn+1-dn<0,dn+1<dndn随着n的增大而减小,…10分 则n≥5时,en随着n的增大而减小. … ∵c1=,c2=,c3=,c4=,c5=, d1=-,d2=0,d3=,d4=,d5=, ∴e1=0,e2=,e3=,e4=,e5=. 则e1<e2>e3>e4>e5>….∴e2=最大. ∴实数k的取值范围k≥. …13分. |
核心考点
试题【已知数列{an}中,a1=-1,且 (n+1)an,(n+2)an+1,n 成等差数列.(Ⅰ)设bn=(n+1)an-n+2,求证:数列{bn}是等比数列;(Ⅱ】;主要考察你对
等比数列等知识点的理解。
[详细]
举一反三
若x是1+2y与1-2y的等比中项,则xy的最大值为______. |
设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1、Sn、an+1成等差数列. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由. |
已知数列{an}的前n项和为{Sn},又有数列{bn}满足关系b1=a1,对n∈N*,有an+Sn=n,bn+1=an+1-an (1)求证:{bn}是等比数列,并写出它的通项公式; (2)是否存在常数c,使得数列{Sn+cn+1}为等比数列?若存在,求出c的值;若不存在,说明理由. |
设数列{an}的前n项和为Sn=2an-2n, (Ⅰ)求a1,a4 (Ⅱ)证明:{an+1-2an}是等比数列; (Ⅲ)求{an}的通项公式. |
等比数列{an}中,a4=4,则a2•a6等于______. |