题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，an+1=

n+2

n

Sn(n≥1，n∈N*)．
（1）求证：数列{

Sn

n

}是等比数列；
（2）求a_n．

答案

（1）证明：∵an+1=

n+2

n

Sn，∴Sn+1-Sn=

n+2

n

Sn
∴Sn+1=

2n+2

n

Sn
∴

Sn+1

n+1

=2

Sn

n

∵a₁=1，∴

S1

1

=1
∴数列{

Sn

n

}是以1为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）知，

Sn

n

=2n-1
∵an+1=

n+2

n

Sn，∴an+1=(n+2)•2n-1
∴an=(n+1)•2n-2（n≥2）
∵a₁=1，∴也符合上式
∴an=(n+1)•2n-2