题目

题型：同步题难度：来源：

已知二次函数f（x）=x²﹣ax+a（x∈R）同时满足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（ x₁）＞f（ x₂）成立．
设数列{a_n}的前n项和 S_n=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{ a_n}的通项公式．

答案

解：（1）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a²﹣4a=0，解得a=0或a=4．
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，不满足条件②；
当a=4时，函数f（x）=x²﹣4x+4在（0，2）上递减，满足条件②．
综上得a=4，即f（x）=x²﹣4x+4．
（2）由（1）知S_n=n²﹣4n+4=（n﹣2）²，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时a_n=S_n﹣S_n﹣1=（n﹣2）²﹣（n﹣3）²=2n﹣5．
∴．