题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和Sn满足2S_n=a_n²+a_n（n∈N*）。
(Ⅰ)证明：{a_n}为等差数列；
(Ⅱ)令，记{b_n}的前n项和为T_n，求证：。

答案

(Ⅰ)证明：∵，
∴，
两式相减，得，
整理，得，
∵，
∴（常数），
又，
即，解得：，
∴{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列。
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，，
即证：，
设，
则，
当x∈(0，1)，f′(x)＞0，f(x)为单调递增函数；
当x∈(1，+∞)，f′(x)＜0，f(x)单调递减函数；
在x=1处f(x)取得极大值，也取得最大值f(x)≤f(1)=0，即lnx-x+1≤0，
∴，
时，令，得，
∴，
∴

，
∴当n=1时，有。
故结论成立。