题目

题型：高考真题难度：来源：

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ，
(Ⅰ)设，证明：数列{b_n}是等差数列；
(Ⅱ)求数列{a_n}的前n项和S_n．

答案

解：(Ⅰ)由已知a_n+1=2a_n+2ⁿ得，
又b₁=a₁=1，
因此{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，即，
S_n=1+2·2¹+3·2²+…+n·2^n-1，
两边乘以2，得2S_n=2+2·2²+…+n·2ⁿ，
两式相减，得S_n=-1-2¹-2²-...-2^n-1+n·2ⁿ=-(2ⁿ-1)+n·2ⁿ= (n-1)2ⁿ+1。