题目

题型：河东区一模难度：来源：

已知数列{a_n}、{b_n}中，对任何正整数n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若数列{a_n}是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）若数列{b_n}是等比数列，数列{a_n}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；

答案

（1）依题意数列{a_n}的通项公式是a_n=n，
故等式即为b_n+2b_n-1+3b_n-2++（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，b_n-1+2b_n-2+3b_n-3++（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2），
两式相减可得b_n+b_n-1++b₂+b₁=2ⁿ-
得b_n=2^n-1，数列{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）设等比数列{b_n}的首项为b，公比为q，则b_n=bq^n-1，从而有：bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃++bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃++ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
故（2ⁿ-n-1）q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2
an=

2-q

b

×2n+

q-1

b

×n+

q-2

b

，
要使a_n+1-a_n是与n无关的常数，必需q=2，
即①当等比数列{b_n}的公比q=2时，数列{a_n}是等差数列，其通项公式是an=

n

b

；
②当等比数列{b_n}的公比不是2时，数列{a_n}不是等差数列．