题目

题型：不详难度：来源：

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对于所有的自然数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.
(1)写出数列{a_n}的前3项.
(2)求数列{a_n}的通项公式(写出推证过程).
(3)令b_n=(n∈N^*)，求 (b₁+b₂+b₃+…+b_n－n).

答案

(1) 数列的前3项为2，6，10 ，(2) a_n=4n－2 ，(3)1

解析

(1)由题意，当n=1时，有，S₁=a₁，
∴，解得a₁=2 当n=2时，有，S₂=a₁+a₂，将a₁=2代入，整理得(a₂－2)²=16，由a₂＞0，解得a₂=6.
当n=3时，有，S₃=a₁+a₂+a₃，
将a₁=2，a₂=6代入，整理得(a₃－2)²=64，由a₃＞0，解得a₃=10.
故该数列的前3项为2，6，10.
(2）解法一:由(1）猜想数列{a_n} 有通项公式a_n=4n－2.
下面用数学归纳法证明{a_n}的通项公式是a_n=4n－2，(n∈N^*）.
①当n=1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a₁=2，所以上述结论成立 
②假设当n=k时，结论成立，即有a_k=4k－2，由题意，有，将a_k=4k－2. 代入上式，解得2k=，得S_k=2k²，
由题意，有，S_k+1=S_k+a_k+1，
将S_k=2k²代入得()²=2(a_k+1+2k²)，
整理得a_k+1²－4a_k+1+4－16k²=0，由a_k+1＞0，解得a_k+1=2+4k，
所以a_k+1=2+4k=4(k+1)－2，
即当n=k+1时，上述结论成立.
根据①②，上述结论对所有的自然数n∈N^*成立.
解法二:由题意知，(n∈N^*) 整理得，S_n=(a_n+2)²,
由此得S_n+1=(a_n+1+2)²，∴a_n+1=S_n+1－S_n=［(a_n+1+2)²－(a_n+2)²］.
整理得(a_n+1+a_n）(a_n+1－a_n－4)=0，
由题意知a_n+1+a_n≠0，∴a_n+1－a_n=4，
即数列{a_n}为等差数列，其中a₁=2，公差d=4.
∴a_n=a₁+(n－1)d=2+4(n－1)，即通项公式为a_n=4n－2.
解法三:由已知得,(n∈N^*)　　　　　①，
所以有　　　　　　　　　　　　②，
由②式得，
整理得S_n+1－2·+2－S_n=0，
解得，
由于数列{a_n}为正项数列，而，
因而，
即{S_n}是以为首项，以为公差的等差数列.
所以=+(n－1)=n,S_n=2n²，
故a_n=即a_n=4n－2(n∈N^*).
(3)令c_n=b_n－1，则c_n=