题目
题型:不详难度:来源:
在数列与中,,数列的前项和满足
,为与的等比中项,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求数列与的通项公式;
(Ⅲ)设.证明.
答案
(Ⅱ),
(Ⅲ)证明见解析.
解析
(Ⅰ)解:由题设有,,解得.由题设又有,,解得.
(Ⅱ)解法一:由题设,,,及,,进一步可得,,,,猜想,,.
先证,.
当时,,等式成立.当时用数学归纳法证明如下:
(1当时,,等式成立.
(2)假设时等式成立,即,.
由题设,
①的两边分别减去②的两边,整理得,从而
.
这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何的成立.
综上所述,等式对任何的都成立
再用数学归纳法证明,.
(1)当时,,等式成立.
(2)假设当时等式成立,即,那么
.
这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何的都成立.
解法二:由题设
①的两边分别减去②的两边,整理得,.所以
,
,
……
,.
将以上各式左右两端分别相乘,得,
由(Ⅰ)并化简得,.
止式对也成立.
由题设有,所以,即,.
令,则,即.由得,.所以,即,.
解法三:由题设有,,所以
,
,
……
,.
将以上各式左右两端分别相乘,得,化简得
,.
由(Ⅰ),上式对也成立.所以,.
上式对时也成立.
以下同解法二,可得,.
(Ⅲ)证明:.
当,时,
.
注意到,故
.
当,时,
当,时,
.
当,时,
.
所以.
从而时,有
总之,当时有,即.
核心考点
举一反三
已知各项均为正数的数列的前n项和满足
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列为数列的前n项和,求证:
(Ⅰ)若数列{an}单调递增,且a2是a1、a5的等比中项,证明:
(Ⅱ)设{an}的首项为a1,公差为d,且,问是否存在正常数c,使对任意自然数n都成立,若存在,求出c(用d表示);若不存在,说明理由.
⑴求数列的通项公式;
⑵数列中,从第几项开始(含此项)以后各项均为负数?
(Ⅰ)求a的值
(Ⅱ)若数列与数列有公共项,将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列,求数列的通项公式;
(Ⅲ)记(Ⅱ)中数列的前项之和为,求证:
.
S4=4S2,求数列的通项公式.
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