题目

题型：不详难度：来源：

在数列{a_n}中，前n项和为S_n，且Sn=

n(n+1)

2

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

an

2n

，数列{b_n}前n项和为T_n，求T_n的取值范围．

答案

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，经验证，a₁=1满足上式．
故数列{a_n}的通项公式a_n=n．
（Ⅱ）可知Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
则

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
两式相减，得Tn-

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴Tn=2-

n+2

2n

．
由于Tn+1-Tn=

n+1

2n+1

＞0，则T_n单调递增，故Tn≥T1=

1

2

，
又Tn=2-

n+2

2n

＜2，
故T_n的取值范围是[

1

2

，2)．