题目

题型：不详难度：来源：

已知{a_n}为等差数列，且a₂＝－1，a₅＝8.
(1)求数列{|a_n|}的前n项和；
(2)求数列{2ⁿ·a_n}的前n项和．

答案

(1) S_n＝ (2) 20＋(3n－10)×2^n＋1

解析

(1)设等差数列{a_n}的公差为d，因为a₂＝－1，a₅＝8，所以解得a₁＝－4，d＝3，所以a_n＝－4＋3(n－1)＝3n－7，因此|a_n|＝|3n－7|＝,记数列{|a_n|}的前n项和为S_n，
当n＝1时，S₁＝|a₁|＝4，当n＝2时，S₂＝|a₁|＋|a₂|＝5，
当n≥3时，S_n＝S₂＋|a₃|＋|a₄|＋…＋|a_n|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝n²－n＋10.
又当n＝2时满足此式，
综上，S_n＝
(2)记数列{2ⁿa_n}的前n项和为T_n
则T_n＝2a₁＋2²a₂＋2³a₃＋…＋2ⁿa_n,2T_n＝2²a₁＋2³a₂＋2⁴a₃＋…＋2ⁿa_n－1＋2^n＋1a_n，
所以－T_n＝2a₁＋d(2²＋2³＋…＋2ⁿ)－2^n＋1a_n
由(1)知，a₁＝－4，d＝3，a_n＝3n－7，所以－T_n＝－8＋3×－＝－20－(3n－10)×2^n＋1，故T_n＝20＋(3n－10)×2^n＋1.