题目

题型：重庆难度：来源：

设数列{a_n}满足：a1=2，an+1=an+

1

an

(n∈N*)．
（I）证明：an＞

2n+1

对n∈N^*恒成立；
（II）令bn=

an

n

(n∈N*)，判断b_n与b_n+1的大小，并说明理由．

答案

（1）证法一：当n=1时，a1=2＞

2×1+1

，不等式成立，
假设n=k时，ak＞

2k+1

成立（2分），
当n=k+1时，

a

2k+1

=

a

2k

+

1

a 2k

+2＞2k+3+

1

a 2k

＞2(k+1)+1．（5分）
∴n=k+1时，ak+1＞

2(k+1)+1

时成立
综上由数学归纳法可知，an＞

2n+1

对一切正整数成立（6分）
证法二：由递推公式得

a

2n

=

a

2n-1

+2+

1

a 2n-1

，

a

2n-1

=

a

2n-2

+2+

1

a 2m-2

a

22

=

a

21

+2+

1

a 21

（2分）
上述各式相加并化简得

a

2n

=

a

21

+2(n-1)+

1

a 21

+…+

1

a 2n-1

＞22+2(n-1)=2n+2＞2n+1+1+1（n≥2）（4分）
又n=1时，an＞

2n+1

显然成立，故an＞

2n+1

(n∈N*)（6分）
（2）解法一：

bn+1

bn

=

an+1 n

an n+1

=(1+

1

a 2n

)

n

n+1

＜(1+

1

2n+1

)

n

n+1

（8分）
=

2(n+1) n

(2n+1) n+1

=

2 n(n+1)

2n+1

=

(n+ 1 2 )2- 1 4

n+ 1 2

＜1（10分）
又显然b_n＞0（n∈N^*），故b_n+1＜b_n成立（12分）
解法二：

b

2n+1

-

b

2n

=

a 2n+1

n+1

-

a 2n

n

=

1

n+1

(

a

2n

+

1

a 2m

+2)-

a 2n

n

（8分）
=

1

n+1

(2+

1

a 2m

-

a 2n

n

)＜

1

n+1

(2+

1

2n+1

-

2n+1

n

)（10分）
=

1

n+1

(

1

2n+1

-

1

n

)＜0
故b_n+1²＜b_n²，因此b_n+1＜b_n（12分）