题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4。
（1）求k的值；
（2）若双曲线y=（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标。

答案

解：（1）∵点A横坐标为4，
∴当x= 4时，y=2
∴点A的坐标为（4，2）
∵点A是直线与双曲线（k>0）的交点，
∴ k=4×2=8；

（2）∵点C在双曲线上，当y=8时，x=1
∴点C的坐标为（1，8）
过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON，
S_矩形ONDM=32，S_△ONC=4，S_△CDA=9，
S_△OAM=4，S_△AOC=S_矩形ONDM-S_△ONC-S_△CDA-S_△OAM=32-4-9-4=15；

（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB
∴四边形APBQ是平行四边形
∴S△_POA=S_{平行四边形APBQ}=×24=6
设点P的横坐标为m（m>0且），
得P（m，）
过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴S_△POE=S_△AOF=4
若0＜m＜4，
∵S_△POE+S_梯形PEFA=S_△POA+S_△AOF，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=6
∴
解得m=2，m=- 8（舍去）
∴P（2，4）
若m＞4，
∵S_△AOF+S_梯形AFEP=S_△AOP+S_△POE，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=6
∴，
解得m= 8，m =-2 （舍去）
∴P（8，1）
∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）。