题目

题型：不详难度：来源：

已知复数z₁=2cosθ+isinθ，z₂=1-isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．
（1）当z₁，z₂是实系数一元二次方程x²+mx+n=0的两个虚根时，求m、n的值．
（2）求|z₁•

.

z2

|的值域．

答案

（1）复数z₁=2cosθ+isinθ，z₂=1-isinθ，
z₁，z₂是实系数一元二次方程x²+mx+n=0的两个虚根，
所以z₁=

.

z2

，即2cosθ+isinθ=1+isinθ，所以

2cosθ=1 sinθ=sinθ

，所以cosθ=

1

2

．
m=-z₁-z₂=-（z₁+z₂）=-2cosθ-1=-2．
n=z₁•z₂=1+sin²θ=

7

4

．
（2）|z₁•

.

z2

|=|（2cosθ+isinθ）（1+isinθ）|
=|（2cosθ+isinθ）||（1+isinθ）|
=

(1+3cos2θ)(1+sin2θ)

=

2+2cos2θ+ 3 4 sin22θ

=

3+cos2θ+ 3 4 - 3 4 cos22θ

=

15 4 +cos2θ- 3 4 cos22θ

=

49 12 - 3 4 (cos2θ- 1 3 )2

∈[

2

，

7 3

6

]．