题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin(

π

2

-ωx)（ω＞0）的相邻两条对称轴的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围．

答案

（满分（12分），其中（Ⅰ）小问（7分），（Ⅱ）小问5分）
f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

．
函数f（x）的最小正周期为π，得到ω=1．则f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

…（4分）
（Ⅰ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，得到kπ+

π

6

≤x≤kπ+

π

3

故f（x）的递增区间为[kπ+

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．…（7分）
（Ⅱ）因为0≤x≤

π

2

，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
所以-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1．…（10分）
因此0≤sin(2x-

π

6

)+

1

2

≤

3

2

，即f（x）的取值范围为[0，

3

2

]．        …（12分）