题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

m

=（2sinB，-

3

），

n

=（cos2B，2cos²

B

2

-1）且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求锐角B的大小；
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

答案

（Ⅰ）∵

m

=（2sinB，-

3

），

n

=（cos2B，2cos²

B

2

-1）且

m

∥

n

，
∴2sinB（2cos²

B

2

-1）=-

3

cos2B，
∴2sinBcosB=-

3

cos2B，即sin2B=-

3

cos2B，
∴tan2B=-

3

，
又B为锐角，∴2B∈（0，π），
∴2B=

2π

3

，
则B=

π

3

；…（6分）
（Ⅱ）∵B=

π

3

，b=2，
∴由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得：a²+c²-ac-4=0，
又a²+c²≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

（当且仅当a=c=2时等号成立），
则S_△ABC的最大值为

3

．…（12分）