题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=2sinωxcosωx-2

3

sin2ωx+

3

(ω＞0)，的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）若f(α)=

2

3

，求cos(4α+

2

3

π)的值．

答案

（1）因为f(x)=2sinωxcosωx-2

3

sin2ωx+

3

=sin2ωx+

3

cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

3

）．
∵函数的周期是π，所以

2π

2ω

=π，
解得ω=1；
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）．
所以函数f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．
（3）由（1）可知f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
f(α)=

2

3

，所以

2

3

=2sin（2x+

π

3

）．
∴sin（2x+

π

3

）=

1

3

．
∴cos(4α+

2

3

π)=2sin²（2x+

π

3

）-1=2×(

1

3

)2-1=-

7

9

．