题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数y=f（x）=sin²x+sinx•cosx+cos2x
（Ⅰ）求y=f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数y=f（x）的取值范围．

答案

（Ⅰ）由题意
y=f(x)=sin2x+sinx•cosx+cos2x=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x+cos2x（2分）=

1

2

(cos2x+sin2x)+

1

2

=

2

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)+

1

2

（4分）
∴y=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

（5分）
∴y=f（x）的最小正周期T=π．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴y=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

由x∈[0，

π

2

]得2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，（8分）
所以sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]（10分）
从而f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∈[0，

1+ 2

2

]（11分）
即函数y=f（x）的取值范围是[0，

1+ 2

2

]（12分）