题目

题型：杭州一模难度：来源：

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1（x∈R），g（x）=|f（x）|．
（I）求函数g（x）的单调递减区间；
（II）若A是锐角△ABC的一个内角，且满足f（A）=

2

3

，求sin2A的值．

答案

（Ⅰ） f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
则g(x)=|2sin(2x+

π

6

)|，∵y=|sinx|的单调递减区间为[kπ+

π

2

，kπ+π]，（k∈Z）．
∴由kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤kπ+π   得：

kπ

2

+

π

6

≤x≤

kπ

2

+

5π

12

，
则g（x）的单调递减区间为[

kπ

2

+

π

6

，

kπ

2

+

5π

12

]（k∈Z）．  
（Ⅱ）∵f（A）=

2

3

，
即：sin(2A+

π

6

)=

1

3

，
∵A∈（0，

π

2

），且sin(2A+

π

6

)＞0，
∴2A+

π

6

∈(0，π)
若2A+

π

6

∈(0，

π

2

)，则sin(2A+

π

6

)=

1

3

＜

1

2

=sin

π

6

，∴2A+

π

6

＜

π

6

，这不可能，
∴2A+

π

6

∈(

π

2

，π)，所以cos(2A+

π

6

)=-

2 2

3

∴sin2A=sin[(2A+

π

6

)-

π

6

]=sin(2A+

π

6

)cos

π

6

-cos(2A+

π

6

)sin

π

6

=

1

3

•

3

2

+

2 2

3

•

1

2

=

3 +2 2

6

即sin2A=

3 +2 2

6

．