题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数P与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y=log_α（x-5）+83（a＞0且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数P大于等于80时听课效果最佳．
（1）试求P=f（t）的函数关系式；
（2）老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？
请说明理由．

答案

（1）t∈（0，14]时，设p=f（t）=c（t-12）²+82（c＜0），
将（14，81）代入得c=-

1

4

t∈（0，14]时，p=f（t）=-

1

4

（t-12）²+82（4分）
t∈（14，40]时，将（14，81）代入y=log_a（x-5）+83，得a=

1

3

（6分）
∴p=f(t)=

- 1 4 (t-12)2+82，t∈(0，14] log 1 3 (t-5)+83，t∈(14，40]

．（7分）
（2）t∈（0，14]时，-

1

4

（t-12）²+82≥80
解得12-2

2

≤t≤12+2

2

，
∴t∈[12-2

2

，14]（11分）
t∈[14，40]时，log

1

3

（t-5）+83≥80解得5＜t≤32，
∴t∈[14，32]，∴t∈[12-2

2

，32]，（15分）
即老师在t∈[12-2

2

，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．（16分）