题目

题型：单选题难度：简单来源：门头沟区一模

设函数f(x)=

1

3

x-lnx(x＞0)，则函数f（x）（　　）

A．在区间（0，1），（1，+∞）内均有零点

B．在区间（0，1），（1，+∞）内均无零点

C．在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内无零点

D．在区间（0，1）内无零点，在区间（1，+∞）内有零点

答案

∵函数f(x)=

1

3

x-lnx(x＞0)，
∴f′(x)=

1

3

-

1

x

=

x-3

3x

=0，得x=3
∴当x∈（0，3）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，3）单调递减，
当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）单调递增，
∴当x=3时，f（x）取最小值1-ln3＜0，
f（1）=

1

3

＞0．
∴f（x）在区间（0，1）内无零点，在区间（1，+∞）内有零点，
故选D．