题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)若f(x)的图象上在两点A(m,f(m))、B(n,f(n))处的切线都与y轴垂直,且函数f(x)在区间[m,n]上存在零点,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)若函数f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,在f(x)的图象上是否存在一点M,使得f(x)在点M的切线斜率为2b?若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
答案
由f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性,
知x=0是f(x)的一个极值点.…(2分)
∴f"(0)=0,得c=0.…(3分)
(Ⅱ)令f"(x)=0,得3x2+2bx=0,∴x1=0,x2=-
2 |
3 |
∵f(x)的图象上在两点A(m,f(m))、B(n,f(n))处的切线都与y轴垂直,
∴A,B为f(x)的极值点.…(5分)
则m=0,n=-
2 |
3 |
又f(0)=-b,f(-
2 |
3 |
4 |
27 |
若f(x)在[0,-
2 |
3 |
∵f(0)=-b>0,
则f(-
2 |
3 |
4 |
27 |
∵b<0,∴
4 |
27 |
27 |
4 |
3
| ||
2 |
(Ⅲ)由(Ⅱ),知由f"(x)=0,
得x1=0,x2=-
2 |
3 |
∵f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,f"(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的符号,…(9分)
∴2≤-
2 |
3 |
即-6≤b≤-3.…(10分)
假设存在点M(x0,y0)使得f(x)在M处切线斜率为2b,
则f"(x0)=2b,即3x20+2bx0-2b=0,…(11分)
△=4b2+24b=4(b2+6b)=4(b+3)2-3b,
∵-6≤b≤-3,∴-3b≤△≤0,…(12分)
当b=-6时,△=0,
由3x02-12x0+12=0得x0=2,
故存在这样点M,坐标为(2,-10).…(14分)
核心考点
试题【已知f(x)=x3+bx2+cx-b(b<0)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性.(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)若f(x)的图象上在两点A(m,f(m))、B(】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.0 | B.0,1 | C.0,2 | D.0,1,2 |
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若函数g(x)=
f(x) |
x |
9 |
2(x+1) |
(Ⅲ)若f(x)>t(x-1)(t∈Z)对任意x>1恒成立,求t的最大值.
1 |
3 |
1 |
2 |
A.2006 | B.2007 | C.2008 | D.2009 |
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
an |
3n |
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