已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=f(x)x+92(x+1)-k - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=

f(x)

2(x+1)

-k仅有一个零点，求实数k的取值范围．
（Ⅲ）若f（x）＞t（x-1）（t∈Z）对任意x＞1恒成立，求t的最大值．

答案

（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，
故f′（e）=3，
即a+lne+1=3，
∴a=1．
（2）∵g(x)=

x+xlnx

2(x+1)

-k
=1+lnx+

2(x+1)

-k(x＞0)，
∴g′(x)=

2(x+1)2

(2x-1)(x-2)

2x(x+1)2

，（x＞0）
令g′（x）=0，解得x=

，或x=2，
列表如下

核心考点

试题【已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=f(x)x+92(x+1)-k】；主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]

举一反三

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热门考点

（0，

）

（

，2）

（2，+∞）

g′（x）

g（x）

↑

极大值
4-ln2-k

↓

极小值

+ln2-k

↑

已知函数f（x）=log_ax-x+b（a≥0，且a≠1），当

＜a＜

且3＜b＜4时，函数f（x）的零点x₀∈（n，n+1），n∈N⁺，则n=______．

已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，则x₁•x₂=（　　）

A．2006

B．2007

C．2008

D．2009

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一个零点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

设函数f（x）=x²，g（x）=alnx+bx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（1）=g（1），f"（1）=g"（1），求F（x）=f（x）-g（x）的极小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．
（Ⅲ）设G（x）=f（x）+2-g（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁，x₀，x₂成等差数列，试探究G"（x₀）值的符号．

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．