题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
a |
2 |
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,(x1<x2),求证:1<x1<a<x2<a2.
答案
当a≤0时,f(x)=|x-a|-
a |
2 |
a |
2 |
a |
2x |
函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),…3分
当a>0时,f(x)=|x-a|-
a |
2 |
|
若x≥a,f′(x)=1-
a |
2x |
2x-a |
2x |
若x<a,f′(x)=-1-
a |
2x |
综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,a);单调递增区间为(a,+∞). …7分
(2)由(1)知,当a≤0时,函数f(x)单调递增,
此时函数至多只有一个零点,不合题意; …8分
则必有a>0,此时函数f(x)的单调递减区间为(0,a);单调递增区间为(a,+∞),
由题意,必须f(a)=-
a |
2 |
由f(1)=a-1-
a |
2 |
得x1∈(1,a),…12分
而f(a2)=a2-a-alna=a(a-1-lna),
下面证明:a>1时,a-1-lna>0
设g(x)=x-1-lnx,x>1
则g′(x)=1-
1 |
x |
x-1 |
x |
所以g(x)在x>1时递增,则g(x)>g(1)=0,
所以f(a2)=a2-a-alna=a(a-1-lna)>0,
又f(a)<0,
所以x2∈(a,a2),
综上,1<x1<a<x2<a2. …16分
核心考点
试题【已知函数f(x)=|x-a|-a2lnx,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,(x1<x2),求证:1<x1<a<】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)f(x)-4=0与f"(x)=0有一个相同的实根;
(2)f(x)=0与f"(x)=0有一个相同的实根;
(3)f(x)+3=0的任一实根大于f(x)-1=0的任一实根;
(4)f(x)+5=0的任一实根小于f(x)-2=0的任一实根.其中所有正确命题是______.
a |
x |
|
(Ⅰ) 当a=b=1时,求H(x);
(Ⅱ) 当a=1时,在x∈[2,+∞)上H(x)=f(g(x)),求b的取值范围;
(Ⅲ) 当a>0时,方程f(g(x))+c=0,在(0,+∞)上有且只有一个实根,求证:b、c中至少有一个负数.
1 |
2 |
(1)求a的值;
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)是函数y=g(x)的图象上两点,g′(x0) =
y2-y1 |
x2-x1 |
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