题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
1 |
2 |
(1)记h(x)=f(x)-g(x),若a=4,求h(x)的单调递增区间;
(2)记g"(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g"(x)≤(a+3)x-g(x)在x∈[1,e]上有解,求实数a的取值范围;
(3)若在[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)-f′(x0)>g′(x0)+
1 |
g′(x0) |
答案
1 |
2 |
由h′(x)=
4 |
x |
所以h(x)的单调递增区间为(0,2).…(4分)
(2)不等式f(x)+2g′(x)≤(a+3)x-g(x),即为alnx+2x≤(a+3)x-
1 |
2 |
化简得:a(x-lnx)≥
1 |
2 |
由x∈[1,e]知x-lnx>0,因而a≥
| ||
x-lnx |
| ||
x-lnx |
由y′=
(x-1)(x-lnx)-(1-
| ||||
(x-lnx)2 |
(x-1)(
| ||
(x-lnx)2 |
∵当x∈(1,e)时x-1>0,
1 |
2 |
由不等式有解,可得知a≥ymin=-
1 |
2 |
1 |
2 |
(3)不等式f(x0)-f′(x0)>g′(x0)+
1 |
g′(x0) |
a |
x0 |
1 |
x0 |
整理得x0-alnx0+
1+a |
x0 |
1+a |
x |
则由题意可知只需在[1,e]上存在一点x0,使得m(x0)<0.
对m(x)求导数,得m′(x)=1-
a |
x |
1+a |
x2 |
x2-ax-(1+a) |
x2 |
(x-1-a)(x+1) |
x2 |
因为x>0,所以x+1>0,令x-1-a=0,得x=1+a.…(12分)
①若1+a≤1,即a≤0时,令m(1)=2+a<0,解得a<-2.
②若1<1+a≤e,即0<a≤e-1时,m(x)在1+a处取得最小值,
令m(1+a)=1+a-aln(1+a)+1<0,即1+a+1<aln(1+a),可得
a+1+1 |
a |
考察式子
t+1 |
t-1 |
③当1+a>e,即a>e-1时,m(x)在[1,e]上单调递减,只需m(e)<0,得a>
e2+1 |
e-1 |
又因为e-1-
e2+1 |
e-1 |
-2e |
e-1 |
e2+1 |
e-1 |
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(
e2+1 |
e-1 |
核心考点
试题【设函数f(x)=alnx,g(x)=12x2.(1)记h(x)=f(x)-g(x),若a=4,求h(x)的单调递增区间;(2)记g"(x)为g(x)的导函数,若】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.〔0,1〕 | B.〔1,2〕 | C.〔2,3〕 | D.〔3,4〕 |
A.0 | B.1 | C.2 | D.4 |
|
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
|
A.12 | B.10 | C.6 | D.5 |
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