题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=sin2x+acos²x（a∈R，a为常数），且

π

4

是函数y=f（x）的零点．
（1）求a的值，并求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的值域，并写出f（x）取得最大值时x的值．

答案

（1）由于

π

4

是函数y=f（x）的零点，即x=

π

4

是方程f（x）=0的解，
从而f（

π

4

）=sin

π

2

+acos²

π

4

=0，
则1+

1

2

a=0，解得a=-2．
所以f（x）=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1，
则f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
所以函数f（x）的最小正周期为π．

（2）由x∈[0，

π

2

]，得2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
则sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
则-1≤

2

sin（2x-

π

4

）≤

2

，
-2≤

2

sin（2x-

π

4

）-1≤

2

-1，
∴值域为[-2，

2

-1]．
当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
即x=kπ+

3

8

π时，
f（x）有最大值，又x∈[0，

π

2

]，
故k=0时，x=

3

8

π，
f（x）有最大值

2

-1．