题目
题型:解答题难度:一般来源:专项题
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在自然数m,使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
答案
∴可设f(x)=ax(x-5)(a>0),
∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a,
由已知,得6a=12,∴a=2,
∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R)。
(Ⅱ)方程等价于方程2x3-10x2+37=0,
设h(x)=2x3-10x2+37,
则h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10),
当时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
当时,h′(x)>0,h(x)是增函数;
∵h(3)=1>0,,h(4)=5>0,
∴方程h(x)=0在区间内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,+∞)内没有实数根,
所以存在唯一的自然数m=3,使得方程f(x)+在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根。
核心考点
试题【已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12,(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)是否存在自然数m,使】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)设y=ax,其中a是满足≤a<1的常数,用a来表示当售货金额最大时的x的值;
(Ⅱ)若y=x,求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围。
(1)对x∈[-1,2],由f(x)<g(x)+2成立,求正数a的取值范围。
(2)对x1∈[-1,2],x0∈[-1,2],使g(x1)=f(x0),求正数a的取值范围。
(1)求a的值;
(2)设,an+1=f(an),n∈N*,证明。
求证(1)a>0且;
(2)方程f(x)=0在(0,1)内有实根;
(2)是否存在实数m,使得方程 f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由。
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